Ensemble de définition d'une fonction
Ensemble de définition d'une fonction
Voici quelques exemples d'ensemble de définition, notion qui est évoquée dans le programme de seconde.
I Ensemble de définition d'une fonction : définition
Définition
L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction
f
est appelé ensemble de définition de la fonction
f
.
De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f(x) existe ou pour lesquels f(x) a un sens.
L'ensemble de définition d'une fonction
f
est souvent noté
D f
.
De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f(x) existe ou pour lesquels f(x) a un sens.
Exemple
Soit
f
la fonction de la variable réelle
x
définie par
f(x)=2x+1
. Son ensemble de définition est
.
Exemple
Un melon coûte
2
euros pièce.
On désigne par
p
la fonction qui associe à un nombre
x
le prix
p(x)
de
x
melons. L'ensemble de définition de
p
est
car on ne vend ici que des melons entiers et la formule pour la fonction
p
est
p(x)=2x
.
Découverte : Correspondance
Ensemble de définition d'une fonction
→ I Définition
II Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Voici quelques aides pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.
Ensemble de définition d'une fonction
→ II Exemples
II-1 Intervalles
Les ensembles de définition sont souvent des intervalles ou des réunions d'intervalles. L'écriture des réunions d'intervalles obéit à quelques règles simples. Elles sont explicitées dans l'aide de l'exercice 2 de cette page par son auteur Véronique Royer. Nous les rappelons ici.
- Les intervalles doivent être maximaux.
- Les intervalles doivent être deux à deux disjoints.
- Leur écriture doit suivre l'ordre des réels.
Exemple
L'écriture attendue de
est
\( E = ]-\infty , 0[ \cup ]0,+\infty[ \)
.
- On pourrait écrire : \( E = ]-\infty , 6[ \cup [6,0[ \cup ]0,+\infty[ \) mais dans cette écriture les intervalles ne sont pas tous maximaux.
- On a également : \( E = ]-\infty , 7] \cup [6,0[ \cup ]0,+\infty[ \) mais avec cette écriture les intervalles ne sont pas tous deux à deux disjoints.
- Dans l'égalité : \( E = ]0,+\infty[ \cup ]-\infty , 0[ \) , l'écriture ne reflète pas l'ordre des réels (par convention on écrit les plus petits nombres à gauche des plus grands).
Pour réviser :
- Ecriture des intervalles (1)
- Ecriture des intervalles (2)
- II-1 Intervalles
- II-2 Fonction affine
- II-3 Fonction trinôme
- II-4 Fonction quotient
- II-5 Fonction racine carrée
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-1 Intervalles
II-2 Fonction affine
Une fonction affine est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est
.
Pour s'entraîner : Ensemble de définition d'une fonction affine
Exemple
La fonction
f
de la variable réelle
x
définie par
f(x)=5x + 3
a pour ensemble de définition
.
Pour s'entraîner : Ensemble de définition d'une fonction affine
- II-1 Intervalles
- II-2 Fonction affine
- II-3 Fonction trinôme
- II-4 Fonction quotient
- II-5 Fonction racine carrée
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-2 Fonction affine
II-3 Fonction trinôme
Une fonction trinôme est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est
.
Exemple
La fonction
g
de la variable réelle
x
définie par
g(x)= -x2 +5x - 7
a pour ensemble de définition
.
- II-1 Intervalles
- II-2 Fonction affine
- II-3 Fonction trinôme
- II-4 Fonction quotient
- II-5 Fonction racine carrée
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-3 Fonction trinôme
II-4 Fonction quotient
Si la formule qui permet de calculer l'image
f(x)
du réel
x
contient un quotient, on doit exclure de l'ensemble de définition
D f
les valeurs qui annulent le dénominateur de ce quotient. En effet, le quotient par zéro n'est pas défini.
Pour s'entraîner :
Exemple
Soit f la fonction de la variable réelle x définie par f(x) = .
Elle est définie quand son dénominateur n'est pas nul, c'est-à-dire pour tous les x différents de -1 et seulement ceux-là. L'ensemble de définition de la fonction f est
\(D f=]-\infty,\s[\)
\(]\s,+\infty[\)
Pour s'entraîner :
- Ensemble de définition d'un quotient , première étape.
- Ensemble de définition d'un quotient , par étapes.
- Ensemble de définition d'un quotient , sans étape intermédiaire.
- II-1 Intervalles
- II-2 Fonction affine
- II-3 Fonction trinôme
- II-4 Fonction quotient
- II-5 Fonction racine carrée
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-4 Fonction quotient
II-5 Fonction racine carrée
Si la formule qui permet de calculer l'image
f(x)
du réel
x
contient une racine carrée, l'ensemble de définition
D f
ne contient que les valeurs pour lesquelles la quantité sous la racine carrée est positive ou nulle. En effet, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie.
Pour s'entraîner :
Ensemble de définition d'une racine carrée
Exemple
Soit f une fonction de la variable réelle x définie par .
La fonction est définie pour tous les
x
tels que
est positif ou nul et seulement pour ceux-ci.
La quantité
est positive ou nulle si et seulement si
-3x
est supérieur ou égal à
+15
.
Comme le coefficient de
x
est négatif, cette inégalité est équivalente à
.
Sur la figure, on a tracé le graphe de la fonction g définie de dans par g(x)= . L'ensemble des x tels que est positif ou nul est représenté en vert.
- II-1 Intervalles
- II-2 Fonction affine
- II-3 Fonction trinôme
- II-4 Fonction quotient
- II-5 Fonction racine carrée
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-5 Fonction racine carrée