Une première approche de la fonction exponentielle

Introduction

De nombreux phénomènes physiques ou économiques simples peuvent être modélisés par une fonction f vérifiant, pour tout réel x d'un intervalle I , où k est un coefficient réel.

D'où l'importance pratique des équations du type f' = k f avec k constante réelle, où l'inconnue f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
Une telle équation est appelée équation différentielle.
Il est assez facile de montrer que si l'on sait résoudre l'équation différentielle f' = k f avec k = 1 , alors on sait résoudre les équations f' = k f avec k quelconque.
On va s'intéresser plus particulièrement à l'équation f' = f et l'on va chercher toutes les fonctions vérifiant cette équation différentielle en imposant comme condition initiale f(0) = 1 .
Pour aller plus loin, DOC Fonction exponentielle

1. D?finition de la fonction exponentielle

Th?or?me (admis) : il existe une unique fonction f d?rivable sur telle que f'=f et f(0) = 1 .
D?finition :
  • On appelle fonction exponentielle, et on note exp l'unique fonction f d?rivable sur telle que f'=f et v?rifiant la condition initiale f(0)=1 .
  • On appelle nombre de Neper, et on note l'image de 1 par la fonction exponentielle. On a donc : .

2. Propri?t?s alg?briques

Th?or?me :
Pour tout r?el x , on a . Par suite la fonction ne s'annule pas sur .
Pour tous r?els x et y , on a : .
Pour tout r?el x et tout entier relatif n on a : .
D?monstration : Ces d?monstrations peuvent ?tre pass?es en premi?re lecture.
  • Premier point: on pose . On montre que h est d?rivable sur et que h'(x)=0 pour tout r?el x. Donc, h est constante ; or pour x=0 on a h(0)=1.
  • Second point: pour un r?el y quelconque fix?, on montre que la fonction est d?rivable sur et que h'(x)=0 pour tout r?el x ; on en d?duit que la fonction h est constante ; or pour x=0 on a h(0)=1.
  • La troisi?me ?galit? est admise.

Notation puissance : La fonction exponentielle prolonge aux r?els les r?gles usuelles des exposants entiers.
Pour tout entier relatif n on a en effet : .

On ?tend la notation puissance ? tout r?el x : .

Pour tous r?els x et y , on a donc les r?gles suivantes :


Exemples
(cliquer sur l'ic?ne pour changer les donn?es) :




Propri?t? : Soit n un entier naturel et a un r?el, comme , la suite est une suite g?om?trique.
Propri?t? : Pour tout r?el x on a : .
D?monstration : d'apr?s les propri?t?s alg?briques de la fonction exp on a :
Donc est un r?el positif dont le carr? est ?gal ? ; c'est donc la racine carr?e positive de .
Le nombre est un irrationnel, comme ou pi . Sa valeur exacte c'est !

Dans un calcul exact, on exprimera donc le r?sultat en fonction de e.
Pour un calcul approch?, on utilisera une approximation :
Exercices :
R??criture sous forme d'une seule exponentielle (1)
R??criture sous forme d'une seule exponentielle (2)
Simplification d'?criture

3. Variations

Sens de variation
Par d?finition, la fonction exponentielle est d?rivable sur et sa fonction d?riv?e est identique ? elle-m?me.
Pour tout r?el x , on a  
Th?or?me : La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives : pour tout r?el x , on a .
D?monstration : Pour tout r?el x on peut ?crire . Or le carr? d'un r?el est un nombre positif ou nul. Par ailleurs on sait que la fonction exponentielle ne s'annule pas sur . Donc, la fonction exponentielle est strictement positive sur .
Th?ror?me : La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante sur .
D?monstration : cons?quence imm?diate des deux propri?t?s pr?c?dentes.
Courbe repr?sentative sur [-3 , 4] de la fonction exp

4. Exponentielle d'une fonction affine

Th?or?me La fonction f d?finie sur RR par est d?rivable sur RR et pour tout r?el x , .
Exemples
  • Si f est d?finie sur par , alors pour tout r?el x , on a .
  • (cliquer sur l'ic?ne pour changer les donn?es) :
    Soit f la fonction d?finie sur par .
    f est d?rivable sur et, pour tout r?el x on a : .
Fonctions et .
    Soit k un r?el strictement positif.
  • La fonction est strictement croissante sur .
  • La fonction est strictement d?croissante sur .
Courbes respectives sur [-3 , 4] des fonctions et (cliquer sur l'ic?ne pour changer les donn?es) :

introduction de la fonction exponentielle.
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