Fonction exponentielle
Introduction
De nombreux ph?nom?nes physiques ou ?conomiques simples
peuvent ?tre mod?lis?s par une fonction
f
v?rifiant, pour tout r?el
x
d'un intervalle
I
,
o?
k
est un coefficient r?el.
D'o? l'importance pratique des ?quations diff?rentielles du type
y' = k y
avec
k
constante r?elle.
Exemple de la d?croissance radioactive :
ce qui ?quivaut ?
pour tout .
Pour de petits intervalles de temps (), on assimile l'expression de gauche au nombre d?riv? N'(t). La loi prend la forme d'une ?quation diff?rentielle, c?d une ?quation qui met en relation la fonction N et sa fonction d?riv?e N' : d'o? pour tout . Ainsi la fonction N est solution de l'?quation diff?rentielle sur .
On admet que dans les corps radioactifs, la proportion de noyaux qui se d?sint?grent pendant une dur?e de temps est proportionnelle ? cette dur?e. L'?volution du nombre N(t) de noyaux du corps au temps t se mod?lise alors par la loi suivante, o? 
est une constante positive, d?pendant seulement du corps radioactif :
ce qui ?quivaut ?
pour tout .
Pour de petits intervalles de temps (), on assimile l'expression de gauche au nombre d?riv? N'(t). La loi prend la forme d'une ?quation diff?rentielle, c?d une ?quation qui met en relation la fonction N et sa fonction d?riv?e N' :
Il est assez facile de montrer que si l'on sait r?soudre l'?quation diff?rentielle y' = k y avec k = 1 , alors on sait r?soudre les ?quations y' = k y avec k quelconque.
On va s'int?resser plus particuli?rement ? l'?quation
y' = y
et l'on va chercher les ?ventuelles solutions de cette ?quation diff?rentielle
en imposant comme condition initiale
y(0) = 1
.
Plan
1. D?finitions
2. Propri?t?s alg?briques
3. Variations et Limites
4. Exponentielle d'une fonction u : compos?e exp(u)
5. Logarithme d'un r?el strictement positif
6. Equations et inéquations avec exponentielles
7. Primitives
1. D?finitions
Conjecture d'existence : Gr?ce ? la m?thode d'Euler on conjecture l'existence d'une fonction
f
d?rivable sur
telle que
f' = f
et
f(0) = 1
.
Lemme : Si
f
est une solution de l'?quation diff?rentielle
y' = y
sous la condition initiale
y(0) = 1
, alors pour tout r?el
x
on a
f(x) f(-x) = 1
. Par suite la fonction
f
ne s'annule pas sur
.
D?monstration : On pose . On montre que h est d?rivable sur et que pour tout r?el x on a h'(x) = 0. La fonction h est donc constante. Or pour x = 0, on a h(0) = 1, d'o? f(x) f(-x) = 1 quel que soit le r?el x.
Propri?t? d'unicit? : Si
f
et
g
sont solutions de
l'?quation de l'?quation diff?rentielle
y' = y
sous la condition initiale
y(0) = 1
, alors
f = g
.
D?monstration : Le quotient est d?fini sur puisque g ne s'annule pas (cf. Lemme) et d?rivable sur comme produit de fonctions d?rivables. On montre alors que pour tout r?el x. Donc 
est une fonction constante. Or pour x = 0, on a , d'o? f(x) = g(x) quel que soit le r?el x.
est une fonction constante. Or pour x = 0, on a , d'o? f(x) = g(x) quel que soit le r?el x.
D?finition :
On appelle fonction exponentielle, et on note exp, l'unique fonction d?rivable sur
solution de l'?quation diff?rentielle
y' = y
et v?rifiant la condition initiale
y(0) = 1
.
On appelle nombre de Neper, et on note e, l'image de 1 par la fonction exponentielle. On a donc : e = exp(1).
2. Propri?t?s alg?briques
Lemme : Pour tout r?el
x
on a :
.
On en d?duit que la fonction exponentielle ne s'annule pas sur
.
D?monstration : on montre que la fonction est d?rivable sur et que h'(x)=0 pour tout r?el x ; on en d?duit que la fonction h est constante ; or pour x=0 on a h(0)=1.
Th?or?me :
Pour tous r?els x et y on a :
Pour tout r?el x et tout entier relatif n on a : .
Pour tous r?els x et y on a :
Pour tout r?el x et tout entier relatif n on a : .
D?monstration :
Pour un r?el y quelconque fix?, on montre que la fonction est d?rivable sur et que h'(x)=0 pour tout r?el x ; on en d?duit que la fonction h est constante ; or pour x=0 on a h(0)=1.
La seconde ?galit? se d?montre d'abord par r?currence sur . On la prolonge ? sachant que (cf. Lemme).
Pour un r?el y quelconque fix?, on montre que la fonction est d?rivable sur et que h'(x)=0 pour tout r?el x ; on en d?duit que la fonction h est constante ; or pour x=0 on a h(0)=1.
La seconde ?galit? se d?montre d'abord par r?currence sur . On la prolonge ? sachant que (cf. Lemme).
Notation puissance : La fonction exponentielle prolonge aux r?els les r?gles usuelles des exposants entiers.
Pour tout entier relatif
n
on a en effet :
.
On ?tend la notation puissance ? tout r?el
x
:
.
Pour tous r?els x et y , on a donc les r?gles suivantes :
Propri?t? : Pour tout r?el
x
on a :
.
D?monstration : d'apr?s les propri?t?s alg?briques de la fonction exp on a : Donc est un r?el positif dont le carr? est ?gal ? ; c'est donc la racine carr?e de .
Le nombre e est un irrationnel, comme
ou
. Sa valeur exacte c'est e !
. Sa valeur exacte c'est e !
Dans un calcul exact, on exprimera donc le r?sultat en fonction de e.
Pour un calcul approch?, on utilisera une approximation : e
2,7182818...
Exercices :
Notation puissance
R??criture sous forme d'une seule exponentielle (1)
R??criture sous forme d'une seule exponentielle (2)
Notation puissance
R??criture sous forme d'une seule exponentielle (1)
R??criture sous forme d'une seule exponentielle (2)
3. Variations et Limites
Sens de variation Par d?finition, la fonction exponentielle est d?rivable sur
et sa fonction d?riv?e est identique ? elle-m?me.
pour tout r?el
x
, on a
Lemme : La fonction exponentielle prend des valeurs strictement positives :
pour tout r?el
x
, on a
ex > 0
D?monstration : Pour tout r?el x on peut ?crire . Or le carr? d'un r?el est un nombre positif ou nul. Par ailleurs on sait que la fonction exponentielle ne s'annule pas sur . Donc, la fonction exponentielle est strictement positive sur .
Th?ror?me : La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante sur
. Elle r?alise une bijection de
sur
.
D?monstration : cons?quence imm?diate des deux propri?t?s pr?c?dentes.
Position relative avec la tangente ? l'origine
|
La tangente ? la courbe de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 a pour ?quation .
Propri?t? : La courbe de la fonction exponentielle est enti?rement situ?e
au dessus de sa tangente ? l'origine :
|
D?monstration : On ?tudie le sens de variation de la fonction et on montre que atteint un minimum en x = 0. Or la valeur minimale de est 0. Par suite les valeurs sont toutes positives ou nulles, quel que soit le r?el x.
atteint un minimum en x = 0. Or la valeur minimale de est 0. Par suite les valeurs sont toutes positives ou nulles, quel que soit le r?el x.Limites ? l'infini
Th?ror?me :
et
D?monstration :
Limite en : On sait que pour tout r?el x, . Or donc (th?or?me de comparaison pour les limites).
Limite en : On sait que pour tout x, . Or , donc par inverse . D'o? .
Limite en : On sait que pour tout r?el x, . Or donc (th?or?me de comparaison pour les limites).
Limite en : On sait que pour tout x, . Or , donc par inverse . D'o? .
La courbe de la fonction exponentielle admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en
.
Croissances compar?e entre
ex
et
xn
En
la fonction exponentielle cro?t beaucoup plus vite
que les fonctions puissance
.
Th?or?me (croissance compar?e) :
Pour tout entier naturel
n
,
En l'exponentielle de x est un infini petit qui l'emporte sur toute puissance enti?re de x .
Th?or?me (croissance compar?e) :
Pour tout entier naturel
n
,
On m?morise ces propri?t?s en disant que " l'exponentielle l'emporte sur
les puissances ".
Exercice :
Choisir des exercices sur les limites.4. Exponentielle d'une fonction u : compos?e exp(u)
Soit u une fonction d?finie et d?rivable sur un intervalle I .La compos?e
est la fonction d?finie sur
I
par :
.
On la note indiff?remment ou eu .
Si
u
est d?rivable sur
I
alors la fonction compos?e
eu
est d?rivable sur
I
et l'on a la formule de d?rivation :
On la note indiff?remment ou eu .
Th?or?me (d?riv?e d'une exponentielle) : Si la fonction
u
est d?rivable sur
I
alors la compos?e
l'est aussi et :
C'est ? dire, pour tout r?el , .
- Si
f
est d?finie sur
par
, alors pour tout r?el
x
, on a
.
-
Exemples (cliquer sur l'ic?ne pour changer les donn?es) :
Soit f la fonction d?finie sur par .
avec . f est d?rivable sur et, pour tout r?el x on a : .
Exercices :
Calculer la d?riv?e d'une compos?e exp(u)
Calculer la limite d'une compos?e exp(u)
Etude d'une fonction du type \(x \mapsto (a x+b)e^{kx})
Etude d'une fonction du type \(x \mapsto a x+b + e^{kx})
5. Logarithme d'un r?el strictement positif
On a vu en 3. que la fonction exponentielle r?alise une bijection de sur . Elle admet donc une bijection r?ciproque, d?finie sur et ? valeurs dans .Ainsi, tout r?el strictement positif
b
admet un unique ant?c?dent
a
par la fonction exponentielle.
On nomme cet ant?c?dent le logarithme n?p?rien de
b
et
on le note
ou
.
D?finition : On appelle fonction logarithme, et on note
, la bijection r?ciproque de la fonction exponentielle.
Cons?quences imm?diates :
La fonction
est d?finie sur
et prend ses valeurs dans
.
On a : et
.
On a : et
Propri?t?s : Les fonctions et ?tant bijections r?ciproques l'une de l'autre on a :
- pour tout r?el x ,
- pour tout r?el ,
- pour tout r?el x et pour tout r?el ,
- les courbes respectives des fonctions exp et ln sont sym?triques l'une de l'autre par rapport ? la diagonale d'?quation
|
|
|
Exercice :
Simplifier une expression6. Equations et inéquations avec exponentielles
Les équations ou inéquations suivantes sont résolvables algébriquement.| Si c > 0 , alors | Si c > 0 , alors |
| Si , alors l'équation e u = c n'a pas de solution. |
Si
, alors l'inéquation
e u < c
n'a pas de solution.
Si , alors l'inéquation e u > c est toujours vraie. |
Exercices :
Résolution guidée d'une inéquation du type \(c*e^{a x+b} > d)
Etude guidée du signe d'une expression du type \((a x+b)*e^{c x+d})
Etude guidée du signe d'une expression du type \(c*e^{a x+b} + d)
Remarque :
En dehors des cas précédents, on ne sait en général pas résoudre une (in)équation avec exponentielle par le calcul algébrique.
On peut parfois, par un changement de variable, se ramener à une équation polynomiale résoluble algébriquement.
Sinon, on utilise une méthode de résolution approchée. En général, on se ramène à résoudre l'équation f(x) = 0 . On étudie les variations de la fonction f ; on localise les éventuelles solutions en appliquant le théorème de la bijection dans des intervalles bien choisis ; puis on encadre chaque solution à une précision voulue au moyen de la calculatrice...
En dehors des cas précédents, on ne sait en général pas résoudre une (in)équation avec exponentielle par le calcul algébrique.
On peut parfois, par un changement de variable, se ramener à une équation polynomiale résoluble algébriquement.
Sinon, on utilise une méthode de résolution approchée. En général, on se ramène à résoudre l'équation f(x) = 0 . On étudie les variations de la fonction f ; on localise les éventuelles solutions en appliquant le théorème de la bijection dans des intervalles bien choisis ; puis on encadre chaque solution à une précision voulue au moyen de la calculatrice...
7. Primitives
7. Primitives
Th?or?me :
Soit
u
une fonction d?rivable sur un intervalle
I
.
La fonction admet comme primitives toutes les fonctions o? C est une constante r?elle, et seulement celles-ci.
La fonction admet comme primitives toutes les fonctions o? C est une constante r?elle, et seulement celles-ci.
Une primitive de
est donc
(pour
)
Exemples (cliquer sur l'ic?ne pour changer les donn?es) :
Soit
f
la fonction d?finie sur
par
.
Alors
f
admet comme primitive la fonction
F
d?finie par :
.
Toute autre primitive
G
de
f
s'?crit :
o?
C
est une constante r?elle.