Enseignement Scientifique — Terminale

L'enseignement scientifique de Terminale n'est pas un cours de mathématiques autonome : les mathématiques y apparaissent comme outil de modélisation au service de problèmes scientifiques concrets. Les chapitres à contenu mathématique significatif sont le Thème 2, §2.2 (graphes orientés et optimisation), le Thème 3, §3.4 (suites arithmétiques et géométriques, modèle de Malthus) et le §3.5 (inférence bayésienne, régression). Le §3.1 mobilise probabilités et estimation.

Thème 1 — Science, Climat et Société

Atmosphère, forçage radiatif, modèles climatiques, mix énergétique

Lire et interpréter un spectre d'absorption des ondes électromagnétiques d'un gaz (identification de pics).
Analyser la variation au cours du temps d'indicateurs climatiques : date de vendanges, niveau de la mer, extension d'un glacier, teneur en CO₂.
Représenter et lire des graphiques (fonctions d'une variable réelle, unités physiques).

Diagramme d'état de l'eau : lire un changement de phase sur un graphique

Un diagramme de phase place la pression en ordonnée (souvent en échelle logarithmique) et la température en abscisse ; des courbes séparent les domaines solide / liquide / vapeur. Lire un point sur ce graphique permet de prédire l'état physique de l'eau dans des conditions données.

Au sommet du Mont Blanc, la pression atmosphérique vaut environ 0,43 atm (43 % de la pression au niveau de la mer, qui vaut 1 atm par définition). Repérer ce point sur le diagramme de phase donne un encadrement de la température d'ébullition de l'eau à cette altitude (nettement inférieure à 100 °C).
Même lecture appliquée à Mars (pression ≈ 0,006 atm, température ≈ −63 °C) ou Vénus (pression ≈ 93 atm, température ≈ 470 °C) pour déterminer sous quelle forme l'eau peut y exister.

Pourcentages et puissances de 10 : compter les molécules de CO₂ dans l'air

Donnée 2019 : concentration de CO₂ dans l'air = 410 ppm (parties par million) = 0,0410 %.
Masse molaire du CO₂ : $M = 44$ g/mol. Masse volumique de l'air (20 °C, niveau de la mer) : $\rho_{\text{air}} = 1200$ g/m³. Nombre d'Avogadro : $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ mol⁻¹.

Étape	Calcul
Masse de CO₂ dans 1 m³ d'air	$1200 \times 0{,}0410\% = 1200 \times 0{,}000410 \approx 0{,}49$ g
Nombre de moles de CO₂	$n = \dfrac{0{,}49}{44} \approx 0{,}0112$ mol
Nombre de molécules de CO₂	$N = n \times N_A \approx 0{,}0112 \times 6{,}02\times10^{23} \approx 6{,}7\times10^{21}$ molécules par m³

Ordres de grandeur : le déséquilibre du cycle du carbone

Le principal puits naturel de CO₂ atmosphérique (roches carbonatées) absorbe environ 0,1 GtC/an (milliard de tonnes de carbone par an). Les activités humaines émettent environ 13,5 GtC/an.
Carbone émis en 10 ans : $13{,}5 \times 10 = 135$ GtC.
Temps nécessaire au puits naturel pour absorber cette quantité : $\dfrac{135}{0{,}1} = 1\,350$ ans.

Un simple quotient d'ordres de grandeur (135 GtC ÷ 0,1 GtC/an) suffit à montrer que les puits naturels sont environ 135 fois trop lents par rapport au rythme d'émission actuel — pas besoin d'un modèle complexe pour saisir l'ampleur du déséquilibre.

Source : activités "Diagramme de phase de l'eau" et "Bilan du carbone atmosphérique", manuel Belin Terminale (2020).

Prérequis : notions de fonctions étudiées en Première (lecture graphique). Conversions d'unités et calculs de proportions déjà vus au collège/Seconde. Les équations mathématiques des modèles ne sont pas au programme.

Identifier les relations de causalité (actions et rétroactions) qui sous-tendent la dynamique d'un système.
Réaliser et interpréter une représentation graphique de l'évolution d'une grandeur au cours du temps.
Distinguer rétroaction positive (amplificatrice) et négative (stabilisatrice).

Taux de variation : quantifier une tendance climatique

Taux de variation moyen entre deux dates $a$ et $b$ : $$\tau = \frac{f(b) - f(a)}{f(a)}, \qquad \text{ou en valeur absolue : } \Delta f = f(b) - f(a)$$

Le réchauffement observé (≈ +1 °C entre 1850 et 2000, soit environ 150 ans) correspond à un taux de variation moyen d'environ +0,0067 °C par an.
Comparer ce taux moyen "longue durée" au taux calculé sur les 30 dernières années (nettement plus élevé) met en évidence une accélération du réchauffement — un taux de variation moyen peut masquer une évolution non constante.
Analyser la variation conjointe de deux séries (température et concentration en CO₂) en comparant leurs taux de variation sur les mêmes périodes.
Le niveau des océans montait de 1,7 mm/an au XX^e siècle ; ce taux a quasiment doublé depuis 1993 (≈ 3,1 mm/an, données NOAA) — même logique d'accélération que pour la température.

Géométrie : la dilatation thermique de l'océan

Une partie de la montée du niveau des mers ne vient pas d'un ajout d'eau, mais du fait que l'eau occupe plus de volume quand elle chauffe (dilatation thermique) — un exemple direct du lien "Géométrie : calculs d'aires et de volumes" du programme.

Dilatation thermique d'un volume $V_0$ soumis à une variation de température $\Delta T$ : $$\Delta V = \alpha \cdot V_0 \cdot \Delta T$$ où $\alpha$ est le coefficient de dilatation thermique du matériau (en °C⁻¹).

Savoirs	Savoir-faire
Seule la couche superficielle de l'océan (jusqu'à environ 1000 m de profondeur) est concernée par le réchauffement. Son volume initial est $V_0 = S \times d$ (surface × épaisseur).	Exprimer le volume initial d'une couche océanique à partir de sa surface et de sa profondeur.
L'élévation de niveau $\Delta h$ vérifie $\Delta h \times S = \Delta V = \alpha \cdot (S \times d) \cdot \Delta T$, donc la surface $S$ se simplifie : $\Delta h = \alpha \cdot d \cdot \Delta T$.	Simplifier une expression littérale pour montrer qu'un résultat ne dépend pas de la surface des océans.

Données (source : NOAA / manuel) : surface des océans $S \approx 360 \times 10^{6}$ km², profondeur de couche superficielle $d \approx 1000$ m, coefficient $\alpha \approx 1{,}0 \times 10^{-4}$ °C⁻¹.
Réchauffement du XX^e siècle : $\Delta T = +0{,}6$ °C.
$\Delta h = \alpha \cdot d \cdot \Delta T = 1{,}0\times 10^{-4} \times 1000 \times 0{,}6 = 0{,}06$ m $= 6$ cm — exactement la valeur mesurée par les chercheurs pour la contribution de la dilatation thermique au XX^e siècle.

Avec le même calcul, estimer l'élévation attendue si la température océanique augmente de 3 °C d'ici la fin du XXI^e siècle : $\Delta h = 1{,}0\times10^{-4}\times1000\times3 = 0{,}3$ m $= 30$ cm.

Attention, idée reçue : la fonte de la banquise (glace déjà flottante dans l'océan Arctique) ne fait presque pas monter le niveau des mers — un glaçon flottant déplace déjà, par poussée d'Archimède, un volume d'eau égal à celui qu'il produira en fondant. Seule la fonte de la glace continentale (Antarctique, Groenland) ajoute réellement de l'eau à l'océan. La fonte de la banquise contribue tout de même indirectement au réchauffement, en réduisant l'albédo de la région et en accélérant ainsi la fonte des glaces continentales voisines.

Prérequis : volume d'un pavé (surface × hauteur), calcul littéral (factoriser/simplifier une expression). Source : activité "Modélisation de la fonte des glaciers", manuel Belin Terminale (2020).

Comprendre qu'un modèle climatique repose sur la mise en équations de lois physiques et la résolution numérique.
Exploiter les résultats d'un modèle : lire des fourchettes de prévision, identifier des corrélations.
Comparer projections et observations (paléoclimats, données satellitaires).

Un modèle-jouet pour comprendre "mise en équation + résolution numérique"

Le BO précise que les équations des vrais modèles climatiques ne sont pas exigibles — mais rien n'empêche d'en construire un minuscule pour voir concrètement de quoi il s'agit. Les modèles réels reposent sur le même principe : un bilan d'énergie qui se traduit par une équation différentielle, résolue pas à pas par ordinateur.

Modèle "boîte" à un paramètre (variante simplifiée des modèles climatiques réels) : $$C \frac{dT}{dt} = F - \lambda (T - T_0)$$ où $T$ est la température moyenne globale, $F$ le forçage radiatif (ex. dû au CO₂), $\lambda$ un paramètre de rétroaction, $T_0$ la température d'équilibre initiale, $C$ la capacité thermique du système (océans compris).

Savoirs	Savoir-faire
On ne sait presque jamais résoudre une telle équation "à la main" : on la discrétise et on avance par petits pas de temps $\Delta t$ (méthode d'Euler, déjà vue en mathématiques).	Traduire une loi physique continue en une relation de récurrence calculable.
Relation de récurrence d'Euler : $T_{n+1} = T_n + \Delta t \times \dfrac{F - \lambda(T_n - T_0)}{C}$	Écrire une boucle (Python ou tableur) qui calcule $T_1, T_2, \ldots$ de proche en proche.
Quand $T_n$ se rapproche de l'équilibre, $\dfrac{dT}{dt} \to 0$, donc $T_{\text{éq}} = T_0 + \dfrac{F}{\lambda}$.	Retrouver la température d'équilibre en annulant la dérivée, et vérifier qu'elle correspond bien à la valeur vers laquelle converge la suite calculée.

Exemple d'ordre de grandeur (doublement du CO₂) : $F \approx 3{,}7$ W/m², $\lambda \approx 1{,}2$ W/m²/K.
Réchauffement d'équilibre : $\Delta T = F/\lambda \approx 3{,}1$ °C — cohérent avec l'ordre de grandeur des estimations de sensibilité climatique couramment citées (≈ 3 °C).
La courbe $T_n$ obtenue par la récurrence ne monte pas linéairement : elle croît vite au début puis ralentit en s'approchant de $T_{\text{éq}}$ (plus $T_n$ est loin de l'équilibre, plus $T_{n+1}-T_n$ est grand).

Faire varier $\Delta t$ dans la boucle : un pas trop grand rend l'approximation d'Euler grossière, un pas trop petit demande beaucoup plus de calculs — un vrai modèle climatique arbitre ce compromis sur des millions de points de grille.
Faire varier $\lambda$ : plus $\lambda$ est petit (rétroactions amplificatrices fortes, cf. §1.2), plus $T_{\text{éq}}$ est grande pour un même forçage $F$ — lien direct avec l'incertitude sur les projections (fourchette 1,5-5°C évoquée dans les savoirs officiels).

Contexte : en classe, ce principe est manipulé via SimClimat, un logiciel pédagogique conçu par la climatologue Camille Risi (2007), qui modélise justement la Terre par un point unique et calcule des variables de sortie (température, niveau des mers…) à partir de paramètres d'entrée (albédo, forçage…) — exactement le principe du modèle-jouet ci-dessus, mais utilisé comme boîte noire. Les vrais modèles de circulation générale (GCM) résolvent des millions d'équations de ce type couplées entre elles (océan, atmosphère, glace) sur une grille 3D du globe.

Prérequis : les équations des modèles réels ne sont pas exigibles ; ce modèle-jouet est un complément hors BO strict pour donner du sens à "résolution numérique" (SimClimat ne montre pas la relation de récurrence sous-jacente). Méthode d'Euler et suites (notation $u_n$) déjà vues en mathématiques.

Thème 2 — Le futur des Énergies

Électricité, photovoltaïque, rendement, graphes et optimisation de réseaux

Tracer et exploiter la caractéristique $i(u)$ d'une cellule photovoltaïque.
Déterminer la résistance $R$ maximisant la puissance électrique délivrée : $P = ui$, point de fonctionnement optimal.
Analyser un spectre pour décider si un matériau est utilisable comme capteur PV.

Puissance délivrée : $P = u \cdot i(u)$. La résistance optimale correspond au point de la courbe $i(u)$ où le produit $ui$ est maximal.

Prérequis : caractéristique $i(u)$ et point de fonctionnement déjà vus en Première. La loi de Faraday est hors programme.

Conversion et rendement

Décrire des chaînes de conversions énergétiques (mécanique → électrique → …).
Calculer le rendement global d'un système de conversion : $$\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots$$
Comparer différents modes de stockage d'énergie (chimique, potentiel, électromagnétique).

Prérequis : lois de l'électricité, énergie et puissance électriques, énergie cinétique et potentielle. Aucune expression d'énergie stockée n'est exigible.

Modélisation par graphe orienté

Savoirs	Savoir-faire
Un réseau électrique est modélisé par un graphe orienté dont : — les arcs représentent les lignes électriques ; — les sommets sont : sources, nœuds intermédiaires, cibles.	Modéliser un réseau simple par un graphe orienté. Identifier sources, nœuds, cibles.
Pertes par effet Joule sur une ligne : $P_J = R I^2$ (courant continu ; admis pour courant alternatif).	Calculer les pertes sur chaque arc en fonction des intensités $I_k$.

Contraintes du problème d'optimisation

Sources : l'intensité totale sortant d'une source est limitée par la puissance maximale distribuée.
Nœuds intermédiaires : somme des intensités entrant = somme des intensités sortant (loi des nœuds).
Cibles : l'intensité totale arrivant à chaque cible est imposée par la puissance consommée.

Cas-type au programme

Réseau avec 2 sources, 1 nœud intermédiaire, 2 cibles.
Variable : intensités $I_1, I_2, \ldots$ sur chaque arc.
Objectif : minimiser $\displaystyle\sum_k R_k I_k^2$ sous les contraintes ci-dessus.
Méthode : substituer les contraintes pour exprimer la fonction en une seule variable, puis résoudre numériquement ou graphiquement.

Exprimer mathématiquement les contraintes (équations de conservation) et la fonction à minimiser.
Résoudre pour différentes valeurs numériques des productions sources et des besoins cibles.

📐 Graphes & optimisation — Cours et simulation

Contexte : Les graphes modélisent aussi des réseaux informatiques, sociaux, financiers, génétiques — pas seulement électriques.

Prérequis : effet Joule en courant continu ($P = RI^2$). Facteur de puissance hors programme.

Savoirs-faire mathématiques

Convertir entre unités d'énergie : Tonne Équivalent Pétrole (TEP), kWh, Joule — facteurs de conversion fournis.
Comparer des ordres de grandeur d'énergie et de puissance : corps humain, centrale électrique, flux solaire.
Calculer la masse de CO₂ produite par unité d'énergie pour différents combustibles (équation de réaction et énergie massique fournis).
Exploiter des données de production et d'utilisation d'énergie à différentes échelles (mondiale, nationale, individuelle).

Exemple : $m(\text{CO}_2) = \dfrac{E_{\text{libérée}}}{e_{\text{massique}}} \times M(\text{CO}_2)$ — où $e_{\text{massique}}$ est l'énergie par kg de combustible.

Impacts sur les sociétés

Analyser d'un point de vue global les impacts de choix énergétiques majeurs (nucléaire, renouvelables…).
Dans une étude de cas, analyser des choix énergétiques locaux selon des critères multiples (disponibilité, impact climatique, sanitaire, économique, social).

Ce sous-thème est l'occasion de mettre en perspective les thèmes 1 et 2. Peu de contenu mathématique spécifique pour la partie "impacts".

Thème 3 — Une histoire du vivant

Biodiversité, évolution, modèles démographiques, intelligence artificielle

🎲 Problème de Méré — Simulation 📘 Cours CMR 📄 Exercices CMR ✓ Correction CMR 📘 Cours IC 📄 Exercices IC ✓ Correction IC 🧬 Hardy-Weinberg — Simulation 📘 Cours Hardy-Weinberg 📄 Exercices HW ✓ Correction HW 📋 Annale HW 📋 Annale IC/fluctuation

Capture-marquage-recapture

Principe : si la proportion d'individus marqués est identique dans l'échantillon de recapture et dans la population totale : $$\frac{M}{N} = \frac{m}{n_2} \quad \Longrightarrow \quad N = \frac{M \cdot n_2}{m}$$ où $M$ = nombre de marqués relâchés, $n_2$ = taille du 2e échantillon, $m$ = marqués recapturés.

Intervalle de confiance

Estimer un effectif de population à partir d'un seul échantillon via un intervalle de confiance.
L'estimation est assortie d'un niveau de confiance < 100 % : la fluctuation des échantillons implique une incertitude inéliminable.
Plus la taille de l'échantillon est grande, plus l'intervalle de confiance est précis.

Modèle de Hardy-Weinberg

Utiliser la théorie des probabilités pour décrire la transmission des allèles dans une population de grand effectif.
Établir les relations entre fréquences génotypiques d'une génération et de la précédente (si $p$ = fréquence allèle A, $q=1-p$, alors fréquences : $p^2$, $2pq$, $q^2$).
Démontrer ou constater (tableur/Python) que les fréquences génotypiques sont stables dès la 2e génération sous les conditions HW.
Interpréter un écart aux fréquences HW par des forces évolutives (mutation, sélection, dérive).

Loi de Hardy-Weinberg (2 allèles A, a) : si $p = f(A)$, $q = f(a) = 1-p$, alors à l'équilibre :
$f(AA) = p^2$, $f(Aa) = 2pq$, $f(aa) = q^2$ — stables de génération en génération.

Fragmentation et dérive génétique

Utiliser un modèle géométrique simple (quadrillage) pour calculer l'impact d'une fragmentation sur la surface disponible pour une espèce.
Montrer via simulation l'impact d'un faible effectif sur la dérive génétique et l'évolution rapide des fréquences alléliques.

Expliquer des caractères anatomiques via sélection naturelle, contraintes historiques, compromis.
Mobiliser des concepts évolutionnistes pour expliquer la résistance aux antibiotiques ou aux pesticides.

Peu de contenu mathématique spécifique dans ce sous-thème.

Analyser des matrices de comparaison de caractères morpho-anatomiques.
Construire ou lire un arbre phylogénétique.

Peu de contenu mathématique spécifique. L'approche est descriptive et comparative.

📘 Cours complet 📄 Exercices intro 📄 Exercices modèle linéaire ✓ Correction linéaire ✓ Correction suites géom

Modèle	Caractérisation	Suite
Linéaire (arithmétique)	Variation absolue constante : $u(n+1) - u(n) = r$ (constante)	Suite arithmétique : $u(n) = u(0) + n \cdot r$ Nuage de points aligné sur une droite
Exponentiel (géométrique)	Variation relative constante : $\dfrac{u(n+1) - u(n)}{u(n)} = \tau$ (constante)	Suite géométrique : $u(n+1) = q \cdot u(n)$ avec $q = 1 + \tau$ $u(n) = u(0) \cdot q^n$

Modèle de Malthus

Modèle exponentiel d'évolution d'une population : $P(n) = P(0) \cdot (1 + t_n - t_m)^n$
— Si $t_n > t_m$ (natalité > mortalité) : croissance vers $+\infty$.
— Si $t_n < t_m$ : décroissance vers 0.
Modèle réaliste à court terme, irréaliste à long terme (ressources insuffisantes).

Savoir-faire

Exprimer $u(n)$ en fonction de $u(0)$ et $n$ pour chaque modèle.
Représenter et interpréter des nuages de points (effectif d'une population ou ressources).
Ajuster un nuage par une droite ou une courbe exponentielle à la calculatrice ou au tableur.
Calculer le temps de doublement $T_2$ : résoudre $q^{T_2} = 2$, soit $T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln q}$.
Comparer les valeurs du modèle à des données réelles pour tester sa validité.
Proposer un modèle de croissance des ressources alimentaires (blé, riz) et le comparer à une croissance exponentielle.

Histoire : Malthus (1798), Quetelet, Verhulst (logistique) — controverses autour du malthusianisme.

Prérequis : fonctions affines, suites (notation $u(n)$), représentations graphiques. La connaissance de $e^x$ n'est pas exigible.

Apprentissage machine et régression

Utiliser une courbe de tendance (régression) pour estimer une valeur inconnue à partir de données d'entraînement.
Identifier des corrélations et tendances dans des données massives (big data).
Reconnaître les biais dans les données et leurs limites de représentativité.

Tableau de contingence

Pour un test diagnostique (médical, industriel, détection de spam) :

	Test positif	Test négatif	Total
Malade	Vrai positif (VP)	Faux négatif (FN)	$M$
Sain	Faux positif (FP)	Vrai négatif (VN)	$\bar{M}$
Total	$T^+$	$T^-$	$N$

Produire un tableau de contingence à partir de données (ex. diagnostic médical).
Calculer les fréquences VP, FP, FN, VN.
En déduire le nombre de malades parmi ceux ayant un résultat positif au test.

Inférence bayésienne

L'inférence bayésienne calcule des probabilités de causes à partir des probabilités des effets (formule de Bayes).

$$P(M \mid T^+) = \frac{P(T^+ \mid M) \cdot P(M)}{P(T^+)}$$ avec $P(T^+) = P(T^+ \mid M) \cdot P(M) + P(T^+ \mid \bar{M}) \cdot P(\bar{M})$.

Calculer $P(M \mid T^+)$ (probabilité d'être malade sachant test positif) à partir du tableau de contingence.
Interpréter : un test imparfait sur une maladie rare produit beaucoup de faux positifs même avec une bonne sensibilité.
Applications : diagnostic médical, filtre anti-spam, détection d'anomalie industrielle.

🧮 Tableau de contingence & Bayes — Cours et calculateur

Prérequis : probabilités conditionnelles et formule des probabilités totales (Première/Terminale).