Enseignement Scientifique — Terminale

L'enseignement scientifique de Terminale n'est pas un cours de mathématiques autonome : les mathématiques y apparaissent comme outil de modélisation au service de problèmes scientifiques concrets. Les chapitres à contenu mathématique significatif sont le Thème 2, §2.3 (graphes orientés et optimisation), le Thème 3, §3.4 (suites arithmétiques et géométriques, modèle de Malthus) et le §3.5 (inférence bayésienne, régression). Le §3.1 mobilise probabilités et estimation.

Thème 1 — Science, Climat et Société

Atmosphère, forçage radiatif, modèles climatiques, mix énergétique

Lire et interpréter un spectre d'absorption des ondes électromagnétiques d'un gaz (identification de pics).
Analyser la variation au cours du temps d'indicateurs climatiques : date de vendanges, niveau de la mer, extension d'un glacier, teneur en CO₂.
Représenter et lire des graphiques (fonctions d'une variable réelle, unités physiques).

Prérequis : notions de fonctions étudiées en Première. Les équations mathématiques des modèles ne sont pas au programme.

Identifier les relations de causalité (actions et rétroactions) qui sous-tendent la dynamique d'un système.
Réaliser et interpréter une représentation graphique de l'évolution d'une grandeur au cours du temps.
Distinguer rétroaction positive (amplificatrice) et négative (stabilisatrice).

Comprendre qu'un modèle climatique repose sur la mise en équations de lois physiques et la résolution numérique.
Exploiter les résultats d'un modèle : lire des fourchettes de prévision, identifier des corrélations.
Comparer projections et observations (paléoclimats, données satellitaires).

Prérequis : les équations des modèles elles-mêmes ne sont pas exigibles.

Savoirs-faire mathématiques

Convertir entre unités d'énergie : Tonne Équivalent Pétrole (TEP), kWh, Joule — facteurs de conversion fournis.
Comparer des ordres de grandeur d'énergie et de puissance : corps humain, centrale électrique, flux solaire.
Calculer la masse de CO₂ produite par unité d'énergie pour différents combustibles (équation de réaction et énergie massique fournis).
Exploiter des données de production et d'utilisation d'énergie à différentes échelles (mondiale, nationale, individuelle).

Exemple : $m(\text{CO}_2) = \dfrac{E_{\text{libérée}}}{e_{\text{massique}}} \times M(\text{CO}_2)$ — où $e_{\text{massique}}$ est l'énergie par kg de combustible.

Thème 2 — Le futur des Énergies

Électricité, photovoltaïque, rendement, graphes et optimisation de réseaux

Tracer et exploiter la caractéristique $i(u)$ d'une cellule photovoltaïque.
Déterminer la résistance $R$ maximisant la puissance électrique délivrée : $P = ui$, point de fonctionnement optimal.
Analyser un spectre pour décider si un matériau est utilisable comme capteur PV.

Puissance délivrée : $P = u \cdot i(u)$. La résistance optimale correspond au point de la courbe $i(u)$ où le produit $ui$ est maximal.

Prérequis : caractéristique $i(u)$ et point de fonctionnement déjà vus en Première. La loi de Faraday est hors programme.

Décrire des chaînes de conversions énergétiques (mécanique → électrique → …).
Calculer le rendement global d'un système de conversion : $$\eta = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{fournie}}} = \eta_1 \times \eta_2 \times \cdots$$
Comparer différents modes de stockage d'énergie (chimique, potentiel, électromagnétique).

Prérequis : lois de l'électricité, énergie et puissance électriques, énergie cinétique et potentielle. Aucune expression d'énergie stockée n'est exigible.

Modélisation par graphe orienté

Savoirs	Savoir-faire
Un réseau électrique est modélisé par un graphe orienté dont : — les arcs représentent les lignes électriques ; — les sommets sont : sources, nœuds intermédiaires, cibles.	Modéliser un réseau simple par un graphe orienté. Identifier sources, nœuds, cibles.
Pertes par effet Joule sur une ligne : $P_J = R I^2$ (courant continu ; admis pour courant alternatif).	Calculer les pertes sur chaque arc en fonction des intensités $I_k$.

Contraintes du problème d'optimisation

Sources : l'intensité totale sortant d'une source est limitée par la puissance maximale distribuée.
Nœuds intermédiaires : somme des intensités entrant = somme des intensités sortant (loi des nœuds).
Cibles : l'intensité totale arrivant à chaque cible est imposée par la puissance consommée.

Cas-type au programme

Réseau avec 2 sources, 1 nœud intermédiaire, 2 cibles.
Variable : intensités $I_1, I_2, \ldots$ sur chaque arc.
Objectif : minimiser $\displaystyle\sum_k R_k I_k^2$ sous les contraintes ci-dessus.
Méthode : substituer les contraintes pour exprimer la fonction en une seule variable, puis résoudre numériquement ou graphiquement.

Exprimer mathématiquement les contraintes (équations de conservation) et la fonction à minimiser.
Résoudre pour différentes valeurs numériques des productions sources et des besoins cibles.

Contexte : Les graphes modélisent aussi des réseaux informatiques, sociaux, financiers, génétiques — pas seulement électriques.

Prérequis : effet Joule en courant continu ($P = RI^2$). Facteur de puissance hors programme.

Analyser d'un point de vue global les impacts de choix énergétiques majeurs (nucléaire, renouvelables…).
Dans une étude de cas, analyser des choix énergétiques locaux selon des critères multiples (disponibilité, impact climatique, sanitaire, économique, social).

Ce sous-thème est l'occasion de mettre en perspective les thèmes 1 et 2. Peu de contenu mathématique spécifique.

Thème 3 — Une histoire du vivant

Biodiversité, évolution, modèles démographiques, intelligence artificielle

📘 Cours CMR 📄 Exercices CMR ✓ Correction CMR 📘 Cours IC 📄 Exercices IC ✓ Correction IC 📘 Cours Hardy-Weinberg 📄 Exercices HW ✓ Correction HW 📋 Annale HW 📋 Annale IC/fluctuation

Capture-marquage-recapture

Principe : si la proportion d'individus marqués est identique dans l'échantillon de recapture et dans la population totale : $$\frac{M}{N} = \frac{m}{n_2} \quad \Longrightarrow \quad N = \frac{M \cdot n_2}{m}$$ où $M$ = nombre de marqués relâchés, $n_2$ = taille du 2e échantillon, $m$ = marqués recapturés.

Intervalle de confiance

Estimer un effectif de population à partir d'un seul échantillon via un intervalle de confiance.
L'estimation est assortie d'un niveau de confiance < 100 % : la fluctuation des échantillons implique une incertitude inéliminable.
Plus la taille de l'échantillon est grande, plus l'intervalle de confiance est précis.

Modèle de Hardy-Weinberg

Utiliser la théorie des probabilités pour décrire la transmission des allèles dans une population de grand effectif.
Établir les relations entre fréquences génotypiques d'une génération et de la précédente (si $p$ = fréquence allèle A, $q=1-p$, alors fréquences : $p^2$, $2pq$, $q^2$).
Démontrer ou constater (tableur/Python) que les fréquences génotypiques sont stables dès la 2e génération sous les conditions HW.
Interpréter un écart aux fréquences HW par des forces évolutives (mutation, sélection, dérive).

Loi de Hardy-Weinberg (2 allèles A, a) : si $p = f(A)$, $q = f(a) = 1-p$, alors à l'équilibre :
$f(AA) = p^2$, $f(Aa) = 2pq$, $f(aa) = q^2$ — stables de génération en génération.

Fragmentation et dérive génétique

Utiliser un modèle géométrique simple (quadrillage) pour calculer l'impact d'une fragmentation sur la surface disponible pour une espèce.
Montrer via simulation l'impact d'un faible effectif sur la dérive génétique et l'évolution rapide des fréquences alléliques.

Expliquer des caractères anatomiques via sélection naturelle, contraintes historiques, compromis.
Mobiliser des concepts évolutionnistes pour expliquer la résistance aux antibiotiques ou aux pesticides.

Peu de contenu mathématique spécifique dans ce sous-thème.

Analyser des matrices de comparaison de caractères morpho-anatomiques.
Construire ou lire un arbre phylogénétique.

Peu de contenu mathématique spécifique. L'approche est descriptive et comparative.

📘 Cours complet 📄 Exercices intro 📄 Exercices modèle linéaire ✓ Correction linéaire ✓ Correction suites géom

Modèle	Caractérisation	Suite
Linéaire (arithmétique)	Variation absolue constante : $u(n+1) - u(n) = r$ (constante)	Suite arithmétique : $u(n) = u(0) + n \cdot r$ Nuage de points aligné sur une droite
Exponentiel (géométrique)	Variation relative constante : $\dfrac{u(n+1) - u(n)}{u(n)} = \tau$ (constante)	Suite géométrique : $u(n+1) = q \cdot u(n)$ avec $q = 1 + \tau$ $u(n) = u(0) \cdot q^n$

Modèle de Malthus

Modèle exponentiel d'évolution d'une population : $P(n) = P(0) \cdot (1 + t_n - t_m)^n$
— Si $t_n > t_m$ (natalité > mortalité) : croissance vers $+\infty$.
— Si $t_n < t_m$ : décroissance vers 0.
Modèle réaliste à court terme, irréaliste à long terme (ressources insuffisantes).

Savoir-faire

Exprimer $u(n)$ en fonction de $u(0)$ et $n$ pour chaque modèle.
Représenter et interpréter des nuages de points (effectif d'une population ou ressources).
Ajuster un nuage par une droite ou une courbe exponentielle à la calculatrice ou au tableur.
Calculer le temps de doublement $T_2$ : résoudre $q^{T_2} = 2$, soit $T_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln q}$.
Comparer les valeurs du modèle à des données réelles pour tester sa validité.
Proposer un modèle de croissance des ressources alimentaires (blé, riz) et le comparer à une croissance exponentielle.

Histoire : Malthus (1798), Quetelet, Verhulst (logistique) — controverses autour du malthusianisme.

Prérequis : fonctions affines, suites (notation $u(n)$), représentations graphiques. La connaissance de $e^x$ n'est pas exigible.

Apprentissage machine et régression

Utiliser une courbe de tendance (régression) pour estimer une valeur inconnue à partir de données d'entraînement.
Identifier des corrélations et tendances dans des données massives (big data).
Reconnaître les biais dans les données et leurs limites de représentativité.

Tableau de contingence

Pour un test diagnostique (médical, industriel, détection de spam) :

	Test positif	Test négatif	Total
Malade	Vrai positif (VP)	Faux négatif (FN)	$M$
Sain	Faux positif (FP)	Vrai négatif (VN)	$\bar{M}$
Total	$T^+$	$T^-$	$N$

Produire un tableau de contingence à partir de données (ex. diagnostic médical).
Calculer les fréquences VP, FP, FN, VN.
En déduire le nombre de malades parmi ceux ayant un résultat positif au test.

Inférence bayésienne

L'inférence bayésienne calcule des probabilités de causes à partir des probabilités des effets (formule de Bayes).

$$P(M \mid T^+) = \frac{P(T^+ \mid M) \cdot P(M)}{P(T^+)}$$ avec $P(T^+) = P(T^+ \mid M) \cdot P(M) + P(T^+ \mid \bar{M}) \cdot P(\bar{M})$.

Calculer $P(M \mid T^+)$ (probabilité d'être malade sachant test positif) à partir du tableau de contingence.
Interpréter : un test imparfait sur une maladie rare produit beaucoup de faux positifs même avec une bonne sensibilité.
Applications : diagnostic médical, filtre anti-spam, détection d'anomalie industrielle.

Prérequis : probabilités conditionnelles et formule des probabilités totales (Première/Terminale).